ר' אברהם הלוי אלשיך הדפיס לראשונה את הספר שתילי זתים, פירושו של מרי דוד משרקי לשו"ע טור אורח חיים, בסוף המאה הי"ט בירושלים, והוא, א"כ, מן המדפיסים הראשונים מקרב יוצאי תימן. לא ידוע מתי נולד ומתי עלה לירושלים. כנראה שהוא מרי אברהם בן יוסף אלשיך, אשר עלה לירושלים מצנעא בחודש אב תרמ"א (1881).
הוא הראשון שהצליח להדפיס את שתילי זתים בשנת תרמ"ו (1886) בדפוס פרומקין. קדם לו ברצון להדפיס ר' משה השאש אשר ניסה להדפיס את הספר בשנת תרמ"ה (1885), אך הדפסת הספר התעכבה, ובנו ר' יחיא זכה להוציאו לאור כעבור עשר שנים. היו מאבקים משפטיים סביב זכויות ההדפסה.